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<!DOCTYPE html>

<title>Barwert</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Barwert</span></h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p>Der <b>Barwert</b>, auch <b>Gegenwartswert</b> genannt (<a href="Englische_Sprache" title="Englische Sprache">englisch</a> <i>present value</i>), ist ein grundlegender Begriff aus der <a href="Finanzmathematik" title="Finanzmathematik">Finanzmathematik</a>. Der Barwert ist der Wert, den zukünftige <a href="Zahlungsstrom" title="Zahlungsstrom">Zahlungen</a> in der Gegenwart besitzen. Er wird durch <a href="Abzinsung" class="mw-redirect" title="Abzinsung">Abzinsung</a> der zukünftigen Zahlungen und anschließendes <a href="Summe" title="Summe">Summieren</a> ermittelt.

Daneben gibt es noch den Begriff des <a href="Versicherungsmathematik" title="Versicherungsmathematik">versicherungsmathematischen</a> Barwerts, welcher eine Verallgemeinerung des finanzmathematischen Barwerts darstellt.

</p><p>Der Barwert stellt in der Finanzmathematik eine wichtige Referenzgröße dar. So können durch Barwertbildung Zahlungen miteinander verglichen werden, die zu unterschiedlichen Zeitpunkten anfallen (Barwertvergleich). Ebenso lassen sich mehrere Zahlungen mithilfe von Barwerten zusammenfassen und bewerten.<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Hintergründe"><span id="Hintergr.C3.BCnde"></span>Hintergründe</h2></div>

<p>Im <a href="Finanzwesen" title="Finanzwesen">Finanzwesen</a> sind Zahlungen, die zu verschiedenen Zeitpunkten anfallen, nicht direkt miteinander vergleichbar. Dies liegt daran, dass sich Geld in der Regel zinsbringend auf dem Kapitalmarkt anlegen lässt, was zur Folge hat, dass frühere Zahlungen üblicherweise mehr wert sind als spätere Zahlungen. Um Vergleichbarkeit herzustellen, müssen Zahlungen auf einen gemeinsamen Zeitpunkt bezogen werden, was mithilfe von <a href="Abzinsung_und_Aufzinsung" title="Abzinsung und Aufzinsung">Auf- bzw. Abzinsungen</a> geschieht. Bei Barwertbetrachtungen ist dieser gemeinsame Zeitpunkt die Gegenwart („heute“), das heißt alle zukünftigen Zahlungen werden auf den heutigen Zeitpunkt abgezinst.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Barwertberechnungen">Barwertberechnungen</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Barwert_einer_einzigen_Zahlung">Barwert einer einzigen Zahlung</h3></div>

<p>Im einfachsten Fall ist der Barwert einer einzigen Zahlung <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z_{t}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z_{t}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a4494df739b00ddebb3f741b5a5aab7415a78736.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.413ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Z_{t}}" loading="lazy"></span> zu ermitteln, die zu einem zukünftigen Zeitpunkt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"></span> anfällt. Um den Barwert zu erhalten, muss diese Zahlung nur mit einem Diskontierungsfaktor <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d(t,0)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d(t,0)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/02289f71edd4fec964ceb4d43662b00e526504b7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.061ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle d(t,0)}" loading="lazy"></span> multipliziert werden, der das Austauschverhältnis von einer Geldeinheit zum Zeitpunkt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"></span> zu einer Geldeinheit zum Zeitpunkt null („heute“) widerspiegelt:

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle BW(Z_{t})=Z_{t}\cdot d(t,0)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2d24d8c72963646f4f9de6338e8373516ad34a67.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.674ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle BW(Z_{t})=Z_{t}\cdot d(t,0)}" loading="lazy"></span> .</dd></dl>

<p>In der Praxis bildet sich dieses Austauschverhältnis für jeden zukünftigen Zeitpunkt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"></span> aus dem Zusammenspiel von Angebot und Nachfrage auf den Finanzmärkten. In der Theorie hängt der Diskontierungsfaktor vom unterstellten <a href="Zinsstrukturmodell" title="Zinsstrukturmodell">Zinsmodell</a> ab. Oftmals wird von einem konstanten <a href="Zinssatz" title="Zinssatz">Periodenzinssatz</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy"></span> und einer Zinsperiode von einem Jahr ausgegangen. Für den einfachen Fall, dass <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"></span> eine ganze Zahl von Jahren bezeichnet, lautet der Diskontierungsfaktor unter diesen Annahmen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d(t,0)=1/(1+i)^{t}}">

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d(t,0)=1/(1+i)^{t}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eb3f6cbb68475c6a680b16bfbe275d93d909354e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.925ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle d(t,0)=1/(1+i)^{t}}" loading="lazy"></span> und der Barwert lässt sich dann schreiben als

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle BW(Z_{t})={\frac {Z_{t}}{(1+i)^{t}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/954370f656b367cf8232e29e6644e1b91b6b57f1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:19.797ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle BW(Z_{t})={\frac {Z_{t}}{(1+i)^{t}}}}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Barwert_einer_Zahlungsreihe">Barwert einer Zahlungsreihe</h3></div>

<p>Um den Barwert einer Reihe von Zahlungen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z_{t_{1}},Z_{t_{2}},\ldots }">

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z_{t_{1}},Z_{t_{2}},\ldots }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5336cb0d25099977edfd0fd19a19f64a2c643328.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:11.281ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Z_{t_{1}},Z_{t_{2}},\ldots }" loading="lazy"></span> zu zukünftigen Zeitpunkten <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t_{1},t_{2},\ldots }">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{1},t_{2},\ldots }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d14f16aa158edf001b64696b53614c029d2cd4bf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.579ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle t_{1},t_{2},\ldots }" loading="lazy"></span> zu erhalten, müssen nur die Barwerte der einzelnen Zahlungen addiert werden. Dadurch erhält man die allgemeine Barwertformel<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munder>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle BW(Z_{t_{1}},Z_{t_{2}},\ldots )=\sum _{k}Z_{t_{k}}\cdot d(t_{k},0)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/840e1deb4507e25e8398928aa9937bf1de606a80.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:36.232ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle BW(Z_{t_{1}},Z_{t_{2}},\ldots )=\sum _{k}Z_{t_{k}}\cdot d(t_{k},0)}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<p>Im speziellen Fall eines konstanten Periodenzinssatzes <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy"></span> und Zahlungen zum Periodenende erhält man die Formel

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munder>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle BW(Z_{1},Z_{2},\ldots )=\sum _{t}{\frac {Z_{t}}{(1+i)^{t}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/90e4bb98677baea630d68fccfd04016224d7762b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:31.2ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle BW(Z_{1},Z_{2},\ldots )=\sum _{t}{\frac {Z_{t}}{(1+i)^{t}}}}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Barwert_einer_Anleihe">Barwert einer Anleihe</h3></div>

<p>Häufig wird die Barwertformel angewendet, um den theoretischen Preis einer <a href="Standardanleihe" title="Standardanleihe">festverzinslichen Anleihe</a> zu berechnen. Dabei ist der zugrunde liegende Zinssatz der <a href="Marktzins" title="Marktzins">Marktzins</a>. Zu einer Anleihe mit einem Nominalwert (Rückzahlungsbetrag) <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy"></span>, einer Laufzeit von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"></span> ganzen Jahren und konstanten jährlichen <a href="Kupon" title="Kupon">Kuponzahlungen</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy"></span> gehört die Zahlungsreihe <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (C,C,\ldots ,C+N)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (C,C,\ldots ,C+N)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4ed26460e4db13668f7b9e8b1b8171d187672de3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.224ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (C,C,\ldots ,C+N)}" loading="lazy"></span>. Bei einem konstanten Marktzins <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy"></span> beträgt der Barwert demnach

</p>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle BW(C,C,\ldots ,C+N)={\frac {C}{(1+i)}}+{\frac {C}{(1+i)^{2}}}+\dots +{\frac {C}{(1+i)^{T}}}+{\frac {N}{(1+i)^{T}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af720a2b5b9b77dd9888f14ccc8c8ec9ae00349c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:73.243ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle BW(C,C,\ldots ,C+N)={\frac {C}{(1+i)}}+{\frac {C}{(1+i)^{2}}}+\dots +{\frac {C}{(1+i)^{T}}}+{\frac {N}{(1+i)^{T}}}}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<p>Mithilfe der Formel für die endliche <a href="Geometrische_Reihe" title="Geometrische Reihe">geometrische Reihe</a> lässt sich der Barwert kompakt schreiben als

</p>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle BW(C,C,\ldots ,C+N)=C\cdot {\frac {(1+i)^{T}-1}{(1+i)^{T}\cdot i}}+{\frac {N}{(1+i)^{T}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e03d0c3d4255f14312a1d72286576dd9c000839e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:53.491ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle BW(C,C,\ldots ,C+N)=C\cdot {\frac {(1+i)^{T}-1}{(1+i)^{T}\cdot i}}+{\frac {N}{(1+i)^{T}}}}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<p>Beträgt die Zeit bis zur ersten Kuponzahlung weniger als ein Jahr, enthält der Barwert zeitanteilige <a href="St%C3%BCckzins" title="Stückzins">Stückzinsen</a> für den ersten Kupon und wird als „dirty price“ bezeichnet. Zieht man vom „dirty price“ die zeitanteilig abgegrenzten Stückzinsen ab, erhält man den sogenannten „clean price“. Der „clean price“ ist der Preis, der bei Börsennotizen, in Kurslisten o. Ä. aufgeführt wird. Der „dirty price“ ist der Preis, der bei einer Veräußerung tatsächlich gezahlt wird.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Barwert_einer_starren_Rente">Barwert einer starren Rente</h3></div>

<p>Als <a href="Rentenrechnung" title="Rentenrechnung"><i>Rente</i></a> bezeichnet man in der Finanzmathematik eine periodische Folge von Zahlungen. Werden die Zahlungen nicht auf einen Zeitraum beschränkt, sondern fließen unbegrenzt lange, spricht man von einer <a href="Ewige_Rente" title="Ewige Rente"><i>ewigen Rente</i></a>, ansonsten von einer <i>Zeitrente</i>.

</p><p>Der Barwert einer nachschüssigen ewigen Rente mit jährlicher Zahlung in Höhe <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}" loading="lazy"></span> beträgt bei einem konstanten Periodenzinssatz <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy"></span>

</p>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle BW(R,R,\ldots )=R\cdot {\frac {1}{i}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/20b4dc543acfc030d1c581edb0c22e2b745f10c4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:22.868ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle BW(R,R,\ldots )=R\cdot {\frac {1}{i}}}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<p>Eine nachschüssige Zeitrente, die <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"></span> Jahre in Höhe von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}" loading="lazy"></span> gezahlt wird, hat den Barwert

</p>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle BW(R,R,\ldots ,R)=R\cdot {\frac {(1+i)^{n}-1}{i(1+i)^{n}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bb1d072768b5a84f4520782b5f7e948a9cd27df0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:36.726ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle BW(R,R,\ldots ,R)=R\cdot {\frac {(1+i)^{n}-1}{i(1+i)^{n}}}}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<p>Offenbar erhält man den Barwert einer konstanten Rente, indem man die konstante Rentenzahlung <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}" loading="lazy"></span> mit dem danebenstehenden <i><a href="Rentenbarwertfaktor" title="Rentenbarwertfaktor">Rentenbarwertfaktor</a></i> multipliziert.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Beispiele">Beispiele</h4></div>

<ul><li>Bei einem Zinssatz von 5 % ist der Barwert der ewigen Rente 20-mal so groß wie die jährliche Zahlung, der Rentenbarwertfaktor beträgt 20.</li></ul>

<ul><li>Der Barwert einer 30 Jahre laufenden Rente ist das 15,4-fache der jährlichen Zahlung, der Rentenbarwertfaktor beträgt 15,4.</li>

<li>Der Barwert einer einjährigen Rente ist <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{1{,}05}}}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{1{,}05}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3504856ab0a8a062dccbba6c3428e01ea1e5e235.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:4.97ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{1{,}05}}}" loading="lazy"></span>-mal so hoch wie die Ausschüttung, der Rentenbarwertfaktor beträgt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{1{,}05}}}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{1{,}05}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3504856ab0a8a062dccbba6c3428e01ea1e5e235.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:4.97ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{1{,}05}}}" loading="lazy"></span>, was etwas größer als 0,95 ist.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Kapitalwert">Kapitalwert</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation"><span class="hauptartikel-pfeil" title="siehe" aria-hidden="true" role="presentation">→ </span><i><span class="hauptartikel-text">Hauptartikel</span>: <a href="Kapitalwert" title="Kapitalwert">Kapitalwert</a></i></div>

<p>Der Kapitalwert (<a href="Englische_Sprache" title="Englische Sprache">englisch</a> <i>net present value</i>) ist eine Barwertbetrachtung, die zur Beurteilung der Wirtschaftlichkeit von Investitionen vorgenommen wird. Dabei wird der Barwert aller mit der Investition verbundenen Ein- und Auszahlungen über den Amortisationszeitraum der Investition ermittelt. Die Investition ist wirtschaftlich, wenn dieser Barwert positiv ist.

</p><p>Auszahlungen resultieren dabei typischerweise aus Investitionsausgaben und sind daher am Anfang des betrachteten Zeitraums fällig. Nettoeinzahlungen resultieren aus den von der Investition erwarteten zusätzlichen Erlösen, sind typischerweise erst zu einem späteren Zeitpunkt zu erwarten und werden somit stärker diskontiert.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Versicherungsmathematischer_Barwert">Versicherungsmathematischer Barwert</h2></div>

<p>Der <b>versicherungsmathematische Barwert</b> ist eine Verallgemeinerung des finanzmathematischen Barwerts. Wo letzterer den Wert, den zukünftig anfallende Zahlungen in der Gegenwart besitzen, (nur) unter Berücksichtigung der Abzinsung darstellt, fließen beim versicherungsmathematischen Barwert auch noch <a href="Statistik" title="Statistik">statistische</a> bzw. <a href="Stochastik" title="Stochastik">stochastische</a> Größen wie <a href="Sterbetafel" title="Sterbetafel">Sterbewahrscheinlichkeiten</a> und Ähnliches ein. Der versicherungsmathematische Barwert berücksichtigt somit die Unsicherheit zukünftiger Zahlungen.

</p><p>Damit wird definiert: Der Barwert eines Versicherungsvertrages ist der Erwartungswert der abdiskontierten Leistungen.

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Barwert=ES}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fe4b3048d0a0f9c3f1c7e58cb92c457ceafb0654.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:15.052ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Barwert=ES}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Der versicherungsmathematische Barwert einer <a href="Leibrente" title="Leibrente">Leibrente</a> zum Beispiel ist die Summe aller möglichen zukünftigen <a href="Rentenrechnung" title="Rentenrechnung">Rentenzahlungen</a> einschließlich möglicher Hinterbliebenenrentenzahlungen nach dem Tode des Rentenempfängers, jeweils mit der Wahrscheinlichkeit ihres Eintretens gewichtet und auf den Berechnungszeitpunkt abgezinst. Damit kann er auch als Preis aufgefasst werden, den das Versicherungsunternehmen einmalig zum Vertragsabschluss verlangen muss, um die Versicherungsleistungen erbringen zu können und stellt damit den Gegenwert der reinen Versicherungsleistung dar und wird daher auch als Nettoprämie bezeichnet.<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p><p>Beispielsweise soll für einen Versicherten mit Eintrittsalter <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"></span> und einer Restlebenszeit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{x}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{x}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4339a8d96e6bf8706d6ba8b56c5349417b712ce.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.53ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle T_{x}}" loading="lazy"></span> der Barwert einer <a href="Rentenversicherung_(Erlebensversicherung)#Modalitäten" title="Rentenversicherung (Erlebensversicherung)">Sofortrente</a> berechnet werden. Bei <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"></span> Rentenzahlungen wird zu Beginn des <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k+1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k+1}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/552a558062ed4c0486297b5b5531c5ee044dbd9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.214ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle k+1}" loading="lazy"></span>-ten Versicherungsjahres eine Zahlung in Höhe von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}" loading="lazy"></span> fällig, sofern <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{x}>k}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{x}>k}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2f8abcad74eba69849947cd3e30bb1f1ed8515ad.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.84ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle T_{x}>k}" loading="lazy"></span> gilt. Die abdiskontierte Gegenleistung ist:

</p>

<dl><dd><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S=\sum _{k=0}^{n-1}Rv^{k}1_{\lbrace T_{x}>k\rbrace }}">

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S=\sum _{k=0}^{n-1}Rv^{k}1_{\lbrace T_{x}>k\rbrace }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/653bd834f9dd58f149565c2adbc21e522124852e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:19.381ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle S=\sum _{k=0}^{n-1}Rv^{k}1_{\lbrace T_{x}>k\rbrace }}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>und damit den Barwert

</p>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ES=R\sum _{k=0}^{n-1}v^{k}P(T_{x}>k)=\sum _{k=0}^{n-1}v^{k}{}_{k}p_{x}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6bfc3ac318752317096f561498f0df9ec1ce1a5b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:37.365ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle ES=R\sum _{k=0}^{n-1}v^{k}P(T_{x}>k)=\sum _{k=0}^{n-1}v^{k}{}_{k}p_{x}}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Barwertidentit%C3%A4t" title="Barwertidentität">Barwertidentität</a></li>

<li><a href="Discounted_Cash_Flow" class="mw-redirect" title="Discounted Cash Flow">Discounted Cash Flow</a></li>

<li><a href="Endwert" title="Endwert">Endwert</a></li>

<li><a href="Kapitalwert" title="Kapitalwert">Kapitalwert</a></li>

<li><a href="Rentenrechnung" title="Rentenrechnung">Rentenrechnung</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li><a href="Peter_Albrecht_(Mathematiker)" title="Peter Albrecht (Mathematiker)">Peter Albrecht</a>: <i>Grundprinzipien der Finanz- und Versicherungsmathematik.</i> Schäffer-Poeschel Verlag Stuttgart 2007, ISBN 978-3-7992-6201-9.</li>

<li>Bernd Luderer: <i>Starthilfe Finanzmathematik</i>. 4. Auflage, Springer Spektrum, Wiesbaden 2015, ISBN 978-3-658-08424-0.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><span class="noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><span class="mw-default-size" typeof="mw:File"><span title="Wiktionary"></span></span></span><b><a href="https://de.wiktionary.org/wiki/Barwert" class="extiw external" title="wikt:Barwert">Wiktionary: Barwert</a></b> – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen</div>

<ul><li>Video: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://ocw.mit.edu/courses/15-401-finance-theory-i-fall-2008/resources/part-i-of-present-value-relations/">Part I of Present Value Relations</a> aus der Vorlesung <i>Finance Theory I</i>, bereitgestellt auf <a href="MIT_OpenCourseWare" title="MIT OpenCourseWare">MIT OpenCourseWare</a>.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">Bernd Luderer: <cite style="font-style:italic">Starthilfe Finanzmathematik</cite>. 2015, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>27</span>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Barwert&rft.au=Bernd+Luderer&rft.btitle=Starthilfe+Finanzmathematik&rft.date=2015&rft.genre=book&rft.pages=27" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text">Bernd Luderer: <cite style="font-style:italic">Starthilfe Finanzmathematik</cite>. 2015, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>163</span>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Barwert&rft.au=Bernd+Luderer&rft.btitle=Starthilfe+Finanzmathematik&rft.date=2015&rft.genre=book&rft.pages=163" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text">Karl Michael Ortmann: <i>Praktische Lebensversicherungsmathematik</i>. Springer Spektrum, Wiesbaden 2016, ISBN 978-3-658-10199-2, S. 12.</span>

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>